競技對戰評分系統：從 Elo 及其進化版演算法深度解析

在競技遊戲（Esports）與棋類比賽中，如何精確測量玩家的「真實實力」是一門結合統計學與心理學的深奧學問。最經典的 Elo 系統雖然奠定了基礎，但在現代遊戲複雜的環境下（如玩家長時間未玩、多人團戰等），它顯得有些力不從心。

本文將帶你走過評分系統的進化史，從 Elo 到 Glicko，再到微軟的 TrueSkill，最後解析現代遊戲常見的 MMR 雙軌制實作邏輯。

1. Elo 系統及其應用案例 (如 WoW, LoL)

Elo 系統由 Arpad Elo 教授發明，是所有評分系統的鼻祖。它的核心概念是：根據兩位玩家的分數差，預測勝率並在賽後調整分數。

核心公式

1. 預期勝率 (Expected Score)：
   $$E_A = \frac{1}{1 + 10^{(R_B - R_A)/400}}$$
   其中 $R_A$ 與 $R_B$ 分別為玩家 A 與 B 的當前評分。

2. 評分更新 (Rating Update)：
   $$R’_A = R_A + K(S_A - E_A)$$
   $S_A$ 為實際對戰結果（勝=1, 和=0.5, 敗=0），$K$ 為權重因子。

然而，單純的 Elo 系統存在幾項局限性：

• 無法處理「不確定性」： 系統無法分辨一個打過 1000 場與打過 1 場的 1500 分玩家，對兩者的實力信心水準應有所不同。
• 時間衰減問題： 玩家若一年未參賽，實力可能下滑，但 Elo 分數會停留在原地。

魔獸世界 (WoW) 與 英雄聯盟 (LoL) 的實踐

這類遊戲採用了 MMR (Matchmaking Rating) 與 視覺分數 (Rank) 分離的機制，以工程手段部分迴避上述局限性：

• 補分效應： 讓實力強的人能獲得額外積分，快速通過低分段，減少「不確定性」帶來的匹配失準。
• 積分膨脹： 透過營運手段維持玩家的參與熱度，同時間接舒緩時間衰減問題。

實作參考：GitHub: sublee/elo

2. Glicko 系統：引入「可信度」概念

由 Mark Glickman 教授開發，Glicko 系統在積分中加入了 RD (Rating Deviation，評分偏差)。

核心邏輯與公式

1. RD 影響因子 (g)：
   $$g(RD) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3q^2 RD^2}{\pi^2}}}$$
   其中 $q = \frac{\ln(10)}{400} \approx 0.0057565$。

2. 修正後的預期勝率 (E)：
   $$E = \frac{1}{1 + 10^{-g(RD_j)(R - R_j)/400}}$$
   其中下標 $j$ 代表對手，$R_j$ 與 $RD_j$ 分別為對手的評分與評分偏差。這表示對手的 RD 越高，其當前分數的參考價值就越低，預期勝率會更趨向 0.5。

• 行為特徵： 每個玩家不只有一個分數，還有一個偏差值。
  • 頻繁對戰： RD 值減少，系統對你的實力更有把握。
  • 長期未玩： RD 值增加，代表系統對你的實力產生懷疑。
• Glicko-2： 進一步引入了「波動率」(Volatility)，是目前 OGS (Online Go Server) 與 Lichess 等平台的主流演算法。

實作參考：GitHub: sublee/glicko2

3. WHR (Whole-History Rating)：圍棋界的精準導師

在圍棋研究中，WHR 被認為是比 Glicko 更精確的系統，它的特點在於「回溯性」。

核心公式 (Bradley-Terry)

$$P(A > B) = \frac{\gamma_A}{\gamma_A + \gamma_B} = \frac{e^{R_A}}{e^{R_A} + e^{R_B}}$$
WHR 將實力參數 $\gamma$ 定義為指數形式 $e^R$，這使得整個歷史紀錄的對數似然函數 (Log-Likelihood) 更易於進行牛頓法 (Newton’s method) 優化。

• 全歷史推算： 與 Elo 不同，WHR 會在每場比賽後，重新審視玩家「整個職業生涯」的所有對戰紀錄。
• 動態實力曲線： 它能更精準地描繪出一個棋手從新手到頂尖高手的成長軌跡，非常適合分析歷史棋譜。

實作參考：GitHub: peteberry/whr

4. Microsoft TrueSkill：團隊對戰的王者

這是由微軟研究院開發的專利演算法，專門解決 1v1 以外的多人團隊對戰需求。

核心公式 (勝率預測)

以下為 1v1 的簡化版本（兩位玩家各一個 $\sigma$）：
$$P(W > L) = \Phi\left( \frac{\mu_w - \mu_l}{\sqrt{2\beta^2 + \sigma_w^2 + \sigma_l^2}} \right)$$
其中 $\Phi$ 為標準常態分佈的累積分布函數 (CDF)，$\beta$ 為表現波動參數。此公式計算兩組高斯分佈相減後結果大於 0 的機率。在團隊模式下，分母的 $\sigma^2$ 項需對所有隊員的個人不確定性求和。

• 團隊邏輯： TrueSkill 的精髓在於能將「團隊表現」拆解回「個人貢獻」。
• 貝氏推論 (Bayesian Inference)： 它將玩家實力視為一個「高斯分佈」（高斯曲線），包含平均值（實力 $\mu$）與標準差（不確定性 $\sigma$）。

開源替代方案： 由於 TrueSkill 有專利限制，獨立開發者通常選用 OpenSkill/openskill.py。

5. 深度解析：MMR/Rank 雙軌制的實作邏輯

為什麼遊戲不直接顯示 MMR？因為 MMR 波動極其敏感，直接顯示會讓玩家產生劇烈的負面情緒。雙軌制提供了一個「緩衝區」。

核心運作公式

視覺積分（如 LP）的增減通常取決於 (MMR - 當前牌位對應分數) 的差距：

1. 高度領先 (MMR > 牌位分數)： 贏球獲得加成獎勵（Gain = Base + Bonus），輸球輕微扣分。
2. 實力下滑 (MMR < 牌位分數)： 贏球微量加分，輸球巨幅扣分。系統試圖將你拉回真實 MMR 區間。

Python 範例實作：MMR 與 LP 的動態修正

以下程式碼示範如何根據隱藏 MMR 來計算視覺積分 (LP) 的變動：

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from typing import Final

class Player:
    """代表對戰玩家的類別，處理隱藏實力與視覺積分的連動。"""

    BASE_CHANGE: Final[int] = 20  # 基礎積分增減值

    def __init__(self, name: str, hidden_mmr: int, visual_lp: int):
        """
        初始化玩家資料。

        Args:
            name (str): 玩家名稱。
            hidden_mmr (int): 系統判斷的隱藏實力分數。
            visual_lp (int): 玩家在介面上看到的視覺積分。
        """
        self.name: str = name
        self.hidden_mmr: int = hidden_mmr
        self.visual_lp: int = visual_lp

    def update_visual_lp(self, is_win: bool) -> None:
        """
        根據對戰結果更新視覺積分 (LP)。

        Args:
            is_win (bool): 比賽是否勝利。
        """
        # 計算差距 (Gap)
        # 假設 MMR 高於視覺積分，表示玩家處於「低估」狀態，應快速升段
        gap = self.hidden_mmr - self.visual_lp
        
        # 修正係數 (差距越大，修正力道越強)
        adjustment = gap * 0.05
        
        if is_win:
            lp_gain = max(10, round(self.BASE_CHANGE + adjustment))
            self.visual_lp += lp_gain
            print(f"[{self.name}] 勝利！獲得 {lp_gain} LP (當前總計: {self.visual_lp})")
        else:
            # 如果 MMR 遠低於視覺積分，輸球會扣除大量積分
            lp_loss = max(10, round(self.BASE_CHANGE - adjustment))
            self.visual_lp -= lp_loss
            print(f"[{self.name}] 敗北... 扣除 {lp_loss} LP (當前總計: {self.visual_lp})")

# 範例測試
if __name__ == "__main__":
    # 案例一：實力(MMR)極高，但目前視覺積分很低 (系統低估玩家)
    player_a = Player("ElitePro", hidden_mmr=2500, visual_lp=1500)
    player_a.update_visual_lp(is_win=True)  # 預期加分會大幅超過 20

    # 案例二：靠運氣上分，MMR 其實很低 (系統高估玩家)
    player_b = Player("LuckyGuy", hidden_mmr=1000, visual_lp=1500)
    player_b.update_visual_lp(is_win=False) # 預期扣分會大幅超過 20

演算法對照總結

開發建議與情境選擇

1. 僅有 1v1： 推薦使用 Glicko-2。它比 Elo 更能反映玩家近期是否活躍。
2. 混合 1v1 與 2v2： 強烈建議使用 OpenSkill。
3. 追求營運成就感： 務必實作第 5 章的 MMR/Rank 雙軌制，這能提供良好的心理緩衝。
4. 防虐菜機制： 持續監測 (MMR - Rank_Score)，當差值過大時，直接賦予該帳號「快速攀升狀態」。

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